Örnek:

            52’lik bir deste iskambil kâğıdından 1 tek kart çekiliyor. Bu kartın kırmızı veya yüksek (onar) (10, J, Q, K, 1) olması ihtimali nedir?
 
 
 

Çözüm 1 :

1 destede 13 sinek (siyah)

1 destede 13 maça (siyah)

1 destede 13 kupa (kırmızı)

1 destede 13 karo (kırmızı) kağıt vardır.

            K: Kırmızı kart olayı,

            Y: Yüksek kart olayı olsun.

Destede 26 kırmızı kart var. O halde;

P(K) = 26/52 = 1/2 dir.

Her on üçlük grupta 5 adet yüksek kart var. Toplam 20 yüksek kart var. O halde;

P(Y) = 20/52 = 5/13 dir.

Kırmızı gerçekleşmiş olduğu hallerde yüksek kart gerçekleşme ihtimali (şartlı ihtimal):

P(K∩Y)= P(K) x P(Y)

P(K∩Y)= 20/52 x 1/2 = 10/52

P(K∩Y)=10/52 olur.

K ve Y olaylarından en az birinin gerçekleşmesi ihtimalini

P(AUB) = P(A) + P(B) –P(A∩B) olarak bulmuştuk.

Çekilen kartın kırmızı veya yüksek olması ihtimali: 

P(KUY) = P(K) + P(Y) – P(K∩Y) dersek;

P(KUY) = 1/2 + 5/13 – 10/52

P(KUY) = 36/52 bulunur. 

Çözüm 2 :    

Bu problemi şöyle de çözebiliriz:

K’ nın ve Y’ nin beraberce gerçekleşme hal sayısı = n1

K gerçekleşsin, Y gerçekleşmesin hal sayısı = n2

Y gerçekleşsin, K gerçekleşmesin hal sayısı = n3

K ve Y’ nin gerçekleşmediği hal sayısı = n4
 
 
 

n1 = 26 – 16 = 10

n2 = 26 – 10 = 16

n3 = 20 – 10 = 10

n4 = 26 – 10 = 16

∑n=52 olacaktır.

K ve Y’ nin beraberce gerçekleşmesi ihtimali P(K.Y) veya P(K∩Y) şöyle hesaplanıyordu:

P(K.Y) = n1 / ∑n =10/52 

P(K) = (n1+n2) / ∑n = (10+16)/52 = 26/52

K’nın gerçekleşmiş olduğu haller de Y’nin gerçekleşmesi ihtimali (şartlı ihtimal);

P(Y/K)= n1 /(n1+n2)=10/(10+16) = 10/26 idi.

P(K.Y) = P(K∩Y) = P(K) . P(Y/K)

P(K.Y) = 26/52 x 10/26 = 10/52

Problemse sorulan kırmızı (K) veya yüksek (Y) kart çekme ihtimali (olaylardan en az birinin gerçekleşmesi ihtimali)

Bu ihtimal;

                        P(K+Y) veya P(KUY) idi. Bu ise,

P(K+Y) = (n1+n2+n3) / ∑n = (10+16+10) / 52 = 36/52 veya

P(K+Y) = P(K) + P(Y) – P(K.Y)

P(K+Y) = [(n1+n2) / ∑n] + [(n1+n3) / ∑n] – [n1 / ∑n]

[(10+16)/52] + [(10+10)/52] – [10/52] = 36/52

----------------------------------------------------------------------------------

Örnek  : 
 
  Yarısı kadınlardan diğer yarısı erkeklerden oluşan bir grup insan göz önüne alalım.Kadınların %20 si ve erkeklerin %60 nın hasta olduğunu varsayalım.Bu gruptan tesadüfen seçilen bir kişinin kadın veya hasta olma ihtimali nedir ?

Çözüm :    
 
 
 Gruptaki bütün insanların sayısı N olsun.K ‘kadın’ ve H ‘hasta’ olanları temsil etsin.

 Erkeklerin ve kadınların sayıları ayrı ayrı N/2 olduğundan ,
 
 

Hasta sayısı : 
 
 
 0.20 (N/2) + 0.60 (N/2) = 4.N/10   bulunur.
 
 
  (N nin  tam sayı ve her şahsın seçilme şansının aynı olduğunu varsayıyoruz.)
 
 

Böylece;
 
 
 P(K) = 1/2 , P(H) = 4/10 ,
 
 P(H/K) = 20/100    olur.
 
 P(K Ω Y) = P(K) . P(H I K) = 1/2 . 20/100 . =1/10 

değerini , 
 
 

P( A U B )= P(A) + P(B) – P(A Ω B)

Teoremini,
 
 P(K U H) = P(K) + P(H) + P(K U H)

Şeklinde yazar ve yerine koyarsak ,
 
 

P(K U H) = 1/2  + 4/10 – 1/10 = 8/10 bulunur.
 
 

 Çözüm 2 :
 
 
 

Grup toplam 100 kişi  ; kadın sayısı = 50 , erkek sayısı = 50 olsun.
 
 

Hasta kadın sayısı % 20 yani 10 ve hasta erkek sayısı % 60 yani 30 olsun.
 
 

 1) K ve H nin beraberce gerçekleşme hal sayısı = n1
 
 2) K gerçekleşsin  H  gerçekleşmesin hal sayısı = n2

3) H gerçekleşsin K gerçekleşmesin hal sayısı = n3

4) K ve H nin gerçekleşmediği hal sayısı = n4
 
 

n 1 = 50*(20/100) = 10 Hasta kadın sayısı 

n2 = 50*(80/100) = 40 Sağlam kadın sayısı
 
 n3 = 40-10 = 30 Hasta erkekler
 
 

n4 = 50-30 = 20 Sağlam erkekler (K yok,H yok)

K ve H nin beraberce gerçekleşme ihtimali ;
 
 
 P(K.H) = P(K Ω H)
 
 
 Şöyle hesaplanıyordu :
 
 
 

P(K Ω H) = n1 /n = 10/100 = 1/100
 
 
 (Hasta ve Kadın)
 
 K nin gerçekleşmediği hallerde H nin gerçekleşmesi ihtimali ( şartlı ihtimal ) :
 
 
 P(H/K) = n1/(n1+n2) = 10/(10+40) = 1/5
 
 

P(H.K) = P(K) . P(H/K)
 
 

P(H.K)= 1/2 .1/5 = 1/10
 (Hasta ve kadın).
 
 

Problemlerde, 4. Durumda H ve K gerçekleşmiyor. 1,2 ve 3. Durumlarda K veya H gerçekleşiyor.
 
 
 O halde ;
 
 
 P(K + H ) = P( K U H ) = (n1+n2+n3 )/n
 
 P(K + H )= (10+40+30)/100 = 80/100 = 8/10 

bulunur.

--------------------------------------------------------------------

ÖRNEK :

 Üç avcı bir tavşana aynı anda birer atış yapıyorlar. Birinci avcının vuruş ihtimali; P(V1)=1/2,

İkincisinin ; P(V2)=1/3, üçüncüsünün; P(V3)=1/4 olsun. Tavşanın vurulması ihtimali nedir?

 
 
 Çözüm:
 
 

 1.avcının karavana atış ihtimali : P(K1)=1/2

2.avcının karavana atış ihtimali : P(K2)=2/3

3.avcının karavana atış ihtimali : P(K3)=3/4
 
 

Üç avcının beraberce karavana atış yapma ihtimali ;
 
 

P(K)=P(K1.K2.K3)=P(K1).P(K2).P(K3)=(1/2).(2/3).(3/4)=1/4
 
 

O halde vuruş ihtimali ;
 
 

P(V)=1–(1/4)=3/4 olarak bulunur.